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相似三角形

比例线段​

对于四条线段 aa，bb，cc，dd 如果两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如 ab=cd(ad=bc)\frac{a}{b} = \frac{c}{d} (ad=bc)，我们就说这四条线段成比例。

比例性质​

ab=cd⇔ac=bd\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⇔ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} ab=bc→b2=ac\frac{a}{b} = \frac{b}{c} → b^2 = ac

比例中项​

如果 aa、bb、cc 三个量成比例即 a:b=b:ca:b = b:c，bb 叫做 aa 和 cc 的比例中项。

例子​

1:2=2:41:2=2:4

22 是 11 和 44 的比例中项。

平行线分线段成比例​

性质​

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

几何语言​

∵l1//l2//l3∵ l_1 // l_2 // l_3 ∴ABBC=DEEF（上比下 = 上比下）∴\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}\text{（上比下 = 上比下）} ∴ABAC=DEDF（上比全 = 上比全）∴\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF}\text{（上比全 = 上比全）} ∴BCAC=EFDF（下比全 = 下比全）∴\frac{BC}{AC} = \frac{EF}{DF}\text{（�下比全 = 下比全）}

相似三角形​

定义​

在 △ABC\triangle ABC 和 △A′B′C′\triangle A'B'C' 中，
如果 ∠A=∠A′∠A = ∠A'，∠B=∠B′∠B = ∠B'，∠C=∠C′∠C = ∠C'，ABA′B′=BCB′C′=ACA′C′=k\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = k，
即三个角分别相等，三条边成比例，
我们就说 △ABC\triangle ABC 与 △A′B′C′\triangle A'B'C' 相似，相似比为 kk。
相似用相似符号“∽∽”表示，读作“相似于”。
△ABC\triangle ABC 与 △A′B′C′\triangle A'B'C' 相似，记作 △ABC∽△A′B′C′\triangle ABC∽\triangle A'B'C'。

判定​

预备定理​

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

几何语言​
∵DE//BC∵DE//BC ∴△ADE∽△ABC∴\triangle ADE∽\triangle ABC

判定定理 AAAA​

两角分别相等的两个三角形相似。

几何语言​
∵∠A=∠A′,∠B=∠B′∵∠A = ∠A', ∠B = ∠B' ∴△ABC∽△A′B′C′∴\triangle ABC ∽ \triangle A'B'C'

判定定理 SASSAS​

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

几何语言​
∵ABA′B′=ACA′C′,∠A=∠A′∵\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}, ∠A = ∠A' ∴△ABC∽△A′B′C′∴\triangle ABC ∽ \triangle A'B'C'

判定定理 SSSSSS​

三边成比例的两个三角形相似。

几何语言​
∵ABA′B′=BCB′C′=ACA′C′∵\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} ∴△ABC∽△A′B′C′∴\triangle ABC ∽ \triangle A'B'C'

性质​

性质 1​

相似三角形的对应角相等。

几何语言​
∵△ABC∽△A′B′C′∵\triangle ABC∽\triangle A'B'C' ∴∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′∴∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C'

性质 2​

相似三角形的对应边成比例。

几何语言​
∵△ABC∽△A′B′C′∵\triangle ABC∽\triangle A'B'C' ∴ABA′B′=BCB′C′=ACA′C′=k∴\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k

性质 3​

相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（对应线段的比值均为相似比）。

性质 4​

相似三角形周长的比等于相似比。

几何语言​
∵△ABC∽△A′B′C′∵\triangle ABC∽\triangle A'B'C' ∴C△ABCC△A′B′C′=k∴\frac{C_{\triangle ABC}}{C_{\triangle A'B'C'}}=k

性质 5​

相似三角形面积的比等于相似比的平方。

几何语言​
∵△ABC∽△A′B′C′∵\triangle ABC∽\triangle A'B'C' ∴S△ABCS△A′B′C′=k2∴\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}}=k^2

一线三垂直相似模型​

如果：∠A=∠C=∠BED=90°∠A=∠C=∠BED=90°，又 EE 为 ACAC 中点，则：△ABE∽△CED∽△EBD\triangle ABE∽\triangle CED∽\triangle EBD。

鸡在河上（积在和上）​

在 △ABC\triangle ABC 中，边 BC=xBC=x,高 AD=yAD=y,四边形 EFGHEFGH 是边长为 aa 的正方形，则有：

a=xyx+ya = \frac{xy}{x+y}

手拉手模型​

△ABC∽△ADE  ⟺  △ABD∽△ACE\triangle ABC ∽ \triangle ADE \iff \triangle ABD ∽ \triangle ACE ∠BAC=∠DAE  ⟺  ∠BAD=∠CAE∠BAC = ∠DAE \iff ∠BAD = ∠CAE ABAD=ACAE  ⟺  ABAC=ADAE\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE} \iff \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}