ABlog

比例线段 #

对于四条线段 $a$，$b$，$c$，$d$ 如果两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} (ad=bc)$，我们就说这四条线段成比例。

比例性质 #

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⇔ \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$$

$$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} → b^2 = ac$$

比例中项 #

如果 $a$、$b$、$c$ 三个量成比例即 $a:b = b:c$，$b$ 叫做 $a$ 和 $c$ 的比例中项。

例子 #

$$1:2=2:4$$

$2$ 是 $1$ 和 $4$ 的比例中项。

平行线分线段成比例 #

性质 #

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

几何语言 #

$$∵ l_1 // l_2 // l_3$$

$$∴\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}\text{（上比下 = 上比下）}$$

$$∴\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF}\text{（上比全 = 上比全）}$$

$$∴\frac{BC}{AC} = \frac{EF}{DF}\text{（下比全 = 下比全）}$$

相似三角形 #

定义 #

在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 中，
如果 $∠A = ∠A'$，$∠B = ∠B'$，$∠C = ∠C'$，$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = k$，
即三个角分别相等，三条边成比例，
我们就说 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 相似，相似比为 $k$。
相似用相似符号“$∽$”表示，读作“相似于”。
$\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 相似，记作 $\triangle ABC∽\triangle A'B'C'$。

判定 #

预备定理 #

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

几何语言 #

$$∵DE//BC$$

$$∴\triangle ADE∽\triangle ABC$$

判定定理 $AA$ #

两角分别相等的两个三角形相似。

几何语言 #

$$∵∠A = ∠A', ∠B = ∠B'$$

$$∴\triangle ABC ∽ \triangle A'B'C'$$

判定定理 $SAS$ #

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

几何语言 #

$$∵\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}, ∠A = ∠A'$$

$$∴\triangle ABC ∽ \triangle A'B'C'$$

判定定理 $SSS$ #

三边成比例的两个三角形相似。

几何语言 #

$$∵\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$$

$$∴\triangle ABC ∽ \triangle A'B'C'$$

性质 #

性质 1 #

相似三角形的对应角相等。

几何语言 #

$$∵\triangle ABC∽\triangle A'B'C'$$

$$∴∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C'$$

性质 2 #

相似三角形的对应边成比例。

几何语言 #

$$∵\triangle ABC∽\triangle A'B'C'$$

$$∴\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$$

性质 3 #

相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（对应线段的比值均为相似比）。

性质 4 #

相似三角形周长的比等于相似比。

几何语言 #

$$∵\triangle ABC∽\triangle A'B'C'$$

$$∴\frac{C_{\triangle ABC}}{C_{\triangle A'B'C'}}=k$$

性质 5 #

相似三角形面积的比等于相似比的平方。

几何语言 #

$$∵\triangle ABC∽\triangle A'B'C'$$

$$∴\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}}=k^2$$

一线三垂直相似模型 #

如果：$∠A=∠C=∠BED=90°$，又 $E$ 为 $AC$ 中点，则：$\triangle ABE∽\triangle CED∽\triangle EBD$。

鸡在河上（积在和上） #

在 $\triangle ABC$ 中，边 $BC=x$,高 $AD=y$,四边形 $EFGH$ 是边长为 $a$ 的正方形，则有：

$$a = \frac{xy}{x+y}$$

手拉手模型 #

$$\triangle ABC ∽ \triangle ADE \iff \triangle ABD ∽ \triangle ACE$$

$$∠BAC = ∠DAE \iff ∠BAD = ∠CAE$$

$$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE} \iff \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$$